Description 

 Let \((1+\sqrt2)^n=e(n)+f(n)\cdot\sqrt2\) , both \(e(n)\) and \(f(n)\) are integers

 Let \(g(n)\) be the gcd of \(f(1),f(2),...,f(n)\)

 given \(n\), \(p\), where \(p\) is a prime number

 Calculate the value of 

\[  \sum_{i=1}^{n}i\cdot g(i) \ \ \ \ mod \ p \]

 \(T\leq 210 ,\sum n\leq 3×10^6\)

Solution 

\[ f(n)=2f(n-1)+f(n-2),f(0)=1,f(1)=1 \]

 Similar to the \(Fibonacci\) sequence, we have

\[  gcd(f(a),f(b))=f(gcd(a,b)) \]

 It's hard to evaluate LCM directly,but we can get it by maximum inversion

\[  lcm(S)=\prod_{T⊆S,T≠∅}gcd(T)^{(−1)^{|T|−1}} \]

 so we can find that

\[  g(n)=\prod_{T⊆S,T≠∅}f(gcd(T))^{(−1)^{|T|−1}} \]

 The next step is the most important.

 construct a function \(h\) ,which satisfies

\[  f(n)=\prod_{d|n}h(d) \]

 we can calculate \(h(1...n)\) easily by \(O(n\log n)\)

 and 

\[  \begin{equation}  \begin{split}  g(n)&=\prod_{d=1}^n h(d)^{∑_{T⊆S,T≠∅,d|gcd(T)}(−1)^{|T|+1}}\\  &=\prod_{d=1}^nh(d)  \end{split}  \end{equation} \]

 

Code 

#include
    
     #define ll long long#define reg register#define db doubleusing namespace std;inline int read(){    int x=0,f=1;char ch=getchar();    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}    return x*f;}const int MN=1e6+5;int f[MN],h[MN],n,P,ans;int Mul(int x,int y){return 1ll*x*y%P;}int Add(int x,int y){return (x+y)%P;}int fpow(int x){int r=1,m=P-2;for(;m;m>>=1,x=Mul(x,x))if(m&1)r=Mul(r,x);return r;} int main(){    int T=read();    while(T--)    {        n=read(),P=read();        reg int i;        f[0]=0;h[0]=h[1]=f[1]=1;        for(i=2;i<=n;++i) h[i]=1,f[i]=Add(Mul(f[i-1],2),f[i-2]);        for(i=2;i<=n;++i)        {            h[i]=Mul(f[i],fpow(h[i]));            for(int j=i<<1;j<=n;j+=i) h[j]=Mul(h[j],h[i]);        }        for(ans=0,i=1;i<=n;++i) h[i]=Mul(h[i],h[i-1]),ans=Add(ans,Mul(h[i],i));        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}
    

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